두 각의 합과 사인함수

삼각함수의 합의 공식을 정리해보려고 합니다.
 
sin( α + β ) = sinα × cosβ + cosα × sinβ
 

 
직각삼각형을 준비합니다.
삼각함수하면, 직각삼각형이지요...
 
점 A에서 시작해서 선분 BC에 직선을 내려 선분 BC와  만나는 점을 D라고 해봅니다.

 
각 ABC를 α,  각 BAD를 β라고 하면
각 ADC는 α + β입니다.

계산의 편의를 위해 선분 AD를 1이라고 정합니다.

 
이때 선분 AC는 α와 (α+β)의 sin함수로 구할 수 있습니다.

선분 AB를 구하기 위해서 점 D에서 선분 AB로 수선을 긋고 수선의 발(점 D에서 선분 AB에 수직으로 그은 직선과 선분 AB가 만나는 점)을
E라고 정합니다.

선분 AE는 1 × cosβ입니다. 그래서 cosβ
선분 DE는 1 × sinβ입니다. 그래서 sinβ
또 선분 DE는 선분 BD × sinα입니다.
그래서 선분 BD는 sinβ / sinα입니다.
마지막으로 선분 BE는
선분 BD × cosα입니다.

 이제 이 모든 것들을 정리해 보면,

제법 단순해집니다.
괄호밖의 sinα를 곱해서 정리해 보면
sinβ × cosα + cosβ × sinα

순서대로 예쁘게 정리하면
sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ

단순히 외우기만했던 공식을 스스로 정리해보니
직장인인 저는 무언가 뻘짓을 한 기분입니다.