24학년도 수학19번

조건을 만족시키는 모든 자연수 x...
x의 범위(0 < x < 16)를 생각해 보면,
x는 1부터 15까지,
15개의 숫자 중에 있습니다.

15번의 계산을 시도할까 하다가 마음을 접고,
조건을 다시 살펴봅니다.

우선 x의 범위를 살펴보면,
x는 0보다 크고 16보다 작습니다.
그렇다면

 

의 범위는,

0 < (π/4) x < 4 π

가 됩니다.

답을 구해야 할 범위가 0과 4 π 안에 있습니다.

 

우선은 이 함수식을 먼저 해결해야겠습니다.

 

함수 f(x)는 사인함수입니다.

 

x대신 조건에서 제시한 2+x와 2-x를 대입해 식을 완성해 봅니다.

 

식을 정리해 보면, 

 

.

.

.

sin함수의 합의 공식을 이용해 식을 정리해 봅니다.

 

사인함수의 합의 공식은 이전 글에서 정리했었습니다.

https://blogger3036.tistory.com/41

두 각의 합과 사인함수

 

 

sin(π/2)는 1입니다.

 

그리고, cos(π/2)는 0입니다.

 

그래서,

입니다.

 

마찬가지로

입니다.

 

결과적으로,

f(2+x) f(2-x)는

코사인 4분의 파이 x의 제곱이 됩니다.

 

문제의 조건에서는 이 값이 4분의 1보다 작다고 했고,

이 조건을 만족시키는 자연수 x의 찾아봐야 합니다.

 

이 조건을 식으로 정리해 보면,

 

 제곱표현도 풀어서 정리해 봅니다.

 

이제 cos ( π/4) x 가 -1/2과 1/2 사이에 있게 할 자연수 x를 찾습니다.

 

 

x가 1이라면

cos ( π/4) ×1로 2분의 루트 2의 값을 가져 조건을 만족하지 않습니다.

 

x가 2라면,

cos ( π/4) ×2 = cos ( π/2)로 0입니다. 조건을 만족합니다.

 

가만히 보니, 조건을 만족하려면 cos ( π/4) x가 0이 되어야 합니다.

cos ( π/4) x가 0이 되는 자연수 x는

2

6

10

14

입니다.

 

이 값들을 모두 더하면 문제에서 요구하는 답이 됩니다. 끝.