삼각형, 외접원, 반지름, 삼각형의 내각과 대응변의 관계

모든 삼각형은 하나의 외접원을 가지고 있습니다.

 

외접원의 반지름의 길이를 R이라고 할 때

 

 

모든 꼭짓점(A, B, C)에서 원의 중심 O까지의 거리는 모두 같습니다.(반지름 R)

또 삼각형 ABO, 삼각형 ACO, 삼각형 BCO 모두 이등변삼각형입니다.

 

각 BOC를 구해보자면,

2π - (각 AOB + 각 AOC)

각 AOB = π - 2 ○

각 AOC = π - 2 ☆

 

정리해서 풀어보면,

각 BOC = 2π - π + 2 ○ - π + 2 ☆ = 2( ○ + ☆)

입니다.

그런데, 각 ( ○ + ☆)는 ∠ A (각 BAC)이었습니다.

 

그렇습니다. 삼각형에서 어느 한 점을 외접원의 원점으로 옮기면...

각도가 2배가 됩니다. 

 

 

 

각 BOC는 각 BAC의 2배입니다.(2 × ∠ A)

 

그리고 삼각형 BOC는 이등변삼각형입니다.

그러니, 위의 그림처럼 표시된 각도는 같습니다.( ∠ A)

∠ A를 바라보는 변을 a라고 한다면

원점 O에서 선분 BC까지 수직으로 내려그은 직선은 선분 BC를 반으로 나눕니다.

 

그래서 R × sin( ∠ A) =  a/2입니다.

{sin( ∠ A)를 간편히 써서, sinA로 합니다.}

 

위 관계를 정리하면,

이렇습니다.

 

모든 각과 대응변의 관계도 마찬가지여서,

 

이렇게 아름다운 관계가 성립되네요.