24학년도 수학11번

 

등차수열...입니다.

각 항을 나열해 봅니다.

문제에서는 6번째 항의 절댓값과 8번째 항이 같다고 했습니다.

그렇다면 6번째 항은 음수입니다.
왜냐하면
첫째, 6번째 항이 양수이고 8번째 항도 양수라면
등차수열이 될 수 없고,
둘째, 6번째 항이 양수이고 8번째 항이 음수라면 위의 등식이 성립하지 않습니다.
셋째, 6번째 항과 8번째 항 모두 음수인 경우에도 위의 등식이 성립하지 않습니다.

절댓값을 풀어서 계산해 봅니다.

- ( a + 5d ) = a + 7d
a = - 6d

첫 번째 항을 알았으니 수열의 다시 나열해 봅니다.

-6d, -5d, -4d, -3d, -2d, -d, 0, d, 2d...

6번째 항은 -d였고
8번째 항은 d였습니다.
|-d| = d

조건을 만족하네요..
 
 이제 다음 조건을 살펴보겠습니다.

k가 1일 때부터 5가 될 때까지...
이 식을 덧셈식으로 표현하면,

입니다.

정리해 봅니다.

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반복되는 d²분의 1을 묶어서 다시 정리해 보면,

.
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이 값이 96분의 5입니다.

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d는 4였습니다.

이제 문제를 다시 봅니다.
{뭘 구하려던 건지 기억나지 않습니다.}

구해야 할 값은,
첫 항부터 열다섯 번째 항까지의 합입니다.

등차 d가 4라는 사실을 알게 되었으니
이제 모든 항들을 나열해 볼 수 있습니다.

그런데 첫 번째 항은 -24이고 공차가 4인 수열이니
일곱 번째 항부터는 0, 4, 8, 12... 이렇게 4씩 증가합니다.
그래서 13번째 항까지의 합이 0 이 됩니다.

결국,

열네 번째 항과 열다섯 번째 항만 남습니다.

열네 번째 항은 열세 번째 항 24보다 4 가 큰 수이니, 28입니다.
열다섯 번째 항은 32가 되겠네요.

답을 구할 수 있습니다.