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24학년도 수학7번 문제입니다.
함수 f(x)가 3차함수입니다.
최고차항은 3분의1 x의 세제곱,
최고차항의 계수는
3분의 1입니다.
최고차항의 계수가 양수이기 때문에 오른쪽으로 증가하는 모양을 가지는 함수입니다.
그리고 극대와 극소가 있다고 하니,
아마도 대충
이런 모양을 하고 있을 것 같습니다.
3차함수의 일반적인 모습입니다.
극대와 극소를 구분해 보면,
x가 α 일 때 극대,
x가 β 일 때 극소를 갖습니다.
보이는 것과 같이 β 가 α 보다 큽니다.
α < β
그리고 극대와 극소에서의 접선의 기울기는 0입니다.
그러니까 f(x)를 미분해서 값이 0인 x값 α 와 β 를 찾으면 될 거 같습니다.
f(x)를 미분해 봅니다.
인수분해를 해 봅니다.
이제 그림을 그려봅니다.
3차함수 f(x)를 미분한 값은 2차함수가 되고,
이 2차함수가 0이 되는 x는
각 각, -2와 6입니다.
그래서 3차함수 f(x)는
x가 -2일 때 극대를
x가 6일 때 극소를 갖습니다.
이제 β - α 를 구하면 됩니다.