합성함수의 미분

y = g(f(x))라는 합성함수를 x에 대해서 미분하려면,

u = f(x)라고 가정해 봅니다.

그러면, 위의 합성함수를 다시 표현할 수 있습니다.

y = g(u)

이제 y라는 합성합수를 x에 대해서 미분해 봅니다.

d y / d x = ( d y / d u ) × ( d u / d x )
.
.
.
d y / d x = {d g(u) / d u} × {d f(x) / d x}

결국, 합성함수의 미분은

겉함수를 미분한 값에 속함수의 미분값을 곱해서 구할 수 있습니다.


예시로, 어떤 부품의 고장밀도함수는 합성함수의 미분을 이용하여 구할 수 있습니다.

어떤 부품의 신뢰도는
R(t) = e^(-λt)입니다.

e는 무한수,
λ(람다)는 고장률,
t 시간을 의미합니다.

불신뢰도 F(t) = 1 - R(t)입니다.

신뢰도와 불신뢰도는 누적확률의 개념인데
이때, 고장밀도함수 f(t)는
불신뢰도를 미분하여 구합니다.
d F(t) / d t = f(t)

(누적) 불신뢰도의 시간에 따른 변화율이 바로 고장밀도함수가 됩니다.

f(t) = d {1 - e^(-λt)} / d t