e^x의 미분함수

e^x의 미분을 구해보려고 합니다.

f(x)'의 일반함수는

입니다.
f(x) 함수에서 미지의 x값일 때의 순간 기울기이지요.

e^x함수의 도함수를 구해보면

입니다.

정리를 해보면

이런 모양이 됩니다.

그런데 무한수 e는

이렇게 정의됩니다.

또 다른 정의는,

입니다.

양변에 자연로그를 적용해 보면

.
.
.
ln e는 1입니다.

.
.
.

이렇게 정리할 수 있습니다.

다시 e^x 함수의 도함수로 돌아가서

e^h-1을 t로 가정해 보면

e^h = t+1이고, 양변에 자연로그를 적용하면,
h = ln(t+1)


그리고
h가 0에 수렴하면
t도 0에 수렴합니다.

이제 e^x의 도함수를

이렇게 정리할 수 있습니다.

위에서 정리했던 것을 기억해 보면
색깔로 표시한 부분의 값은 1입니다.

결과적으로
e^x의 미분값은 e^x입니다.

결과를 알고 나서 보니 e^x 함수가 다르게 보입니다.

도함수가 함수의 기울기이기 때문에
그림으로 보면
e^x의 미분함수(도함수)가 자기 자신이라는 게 직관적으로 이해가 되는 듯합니다.