24학년도 수학20번
우선 문제의 조건에 맞는 그림을 그려봅니다.
함수 f(x) 위의 점 O에서의 접선이 만나는 점을 A.
함수 f(x) 위의 점 A에서의 접선이 x축과 만나는 점을 B.
점 A는 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점.
이때, 선분OA의 기울기는, 함수 f(x)의 점 O에서의 접선의 기울기이니까,
2입니다.
그리고 점 A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점이기 때문에,
각 A는 90도입니다.
외접원과 원점을 지나는 직선을 한 변으로 하는 삼각형이 왜 직각삼각형이어야 하는지에 대해서는
지난번에 정리를 했었습니다.
https://blogger3036.tistory.com/33
삼각형, 외접원, 원점을 지나는 한 변, 직각삼각형
지난 글에서 삼각형의 점들 중 어느 한 점을 외접원의 중심으로 옮기면 각도가 2배가 된다는 사실을 정리했었습니다.오늘은 외접원의 원점을 지나는 변을 갖는 삼각형이 왜 직각삼각형이 되는
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각 A가 90도( π/2)이라면,
선분 AB는 선분 OA와 직각으로 만나게 되기 때문에
선분 OA의 기울기는 1/2입니다.
어떤 직선과 수직인 직선의 기울기와 관련해서 정리한 글을 링크합니다.
https://blogger3036.tistory.com/43
어떤 직선과 수직인 직선(1차 함수)의 기울기
좌표평면에서1차 함수 y = ax에서 x의 계수 a는x의 증가량분의 y의 증가량을 나타냅니다.만약, y = 2x라는 함수를 가정한다면,이 함수는 x가 1 증가할 때, y는 2 증가합니다.다시 말하면, x의 계수 a는
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직선 OA의 기울기가 2이고,
직선 AB의 기울기가 2분의 1이라면,
위에서 그렸던 그림을 더 정확하게 그릴 수 있습니다.
그런데, 점 A는 함수 f(x)와 기울기가 2이고 점 O(0,0)을 지나는 직선(y = 2x)이 만나는 2점 중에서 점 O(0,0)이 아닌 점입니다.
f(x) = 2x
점 A의 x값을 구해봅니다.
f(x)가 2x와 만나는 x값은 0과 a입니다.
점 A의 x값은 a가 됩니다.
직선 OA의 기울기가 2라고 했으니까
점 A는 구체적으로 (a,2a)가 되겠습니다.
점 A를 특정했으니, 이제 선분 OA와 선분 AB의 기울기를 이용해서
삼각형 OAB의 모든 변의 길이를 피타고라스의 정리를 통해서 표현할 수 있습니다.
피타고라스 정리 링크
https://blogger3036.tistory.com/20
피타고라스의 정리를 의심 없이 믿자.
이전 글에서 피타고라스의 정리를 가지고 tan( θ)의 값을 구하면서,너무나도 당연히 여겼었던 피타고라스의 정리에 대한 궁금증이 생겼습니다.어쩌면 그렇게도 신박한 생각을 했을까?다음으로
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이제 a의 값만 구할 수 있다면, 문제의 답을 구할 수 있을 것 같습니다.
선분(직선) AB의 기울기는 앞에서 이미 구했습니다.
2분의 1
이 기울기는 함수 f(x) 위의 점 A에서의 기울기이기도 합니다.
이제 선분 OA와 선분 AB의 곱을 구할 수 있습니다.
10과 a의 제곱의 곱으로 표현됩니다.
a의 제곱은 2분의 5
10 × (5/2)
답을 구했습니다.