24학년도 수학14번

 

 
 
문제가 잘 이해되지 않아서,
함수 f(x)를 그려보는 것으로 시작해 봅니다.
 
x가 2보다 작거나 같을 때,
f(x)는 3차 함수입니다. 최고차항의 계수가 2, 양수이기 때문에

이런 모습을 하고 있으리라고 예상해 봅니다.
 
극값을 찾아서 조금 더 구체적으로 그려보려고 합니다.

이 3차 함수를 미분해 봅니다.
 

 
x가 -1, 1 일 때 극값을 갖네요.
x가 -1일 때 극대
x가 +1일 때 극소입니다.
 
구체적인 값들을 하나하나 찾아봅니다.
f(0) = 1
f(-1) = -2 +6 +1 = 5
f(1) = 2 -6 +1 = -3
그리고 2보다 작거나 같을 때라는 조건이 있으니까, x가 2일 때의 값도 찾아봅니다.
f(2) = 16 -12 +1 = 5
 
그래서,

일때의 함수 f(x)는
 

이런 모양으로 그려집니다.
 

이제 x>2 일때의 함수 f(x)를 살펴보겠습니다.
 x가 2보다 클 때 함수 f(x)는 2차 함수입니다.

문제에서 a와 b는 자연수라고 했습니다.
그렇다면 이 2차 함수의 최고차항의 계수는 양수이고 그래서 아래로 볼록합니다.

또 b는 0 보다 작을 수 없습니다.
0보다 크고 2보다 작다고 해도
이 함수는 x가 2 이상으로 정의되어 있기 때문에
아래 그림처럼 노란색으로 그려지는 함수는 별 의미가 없어 보입니다.
이렇게 되면,
y = t라는 함수와 만나는 점이
t가 5 이상일경우 겨우 한 점에서만 만나고
5가 5 이하일경우 최대 3점에서만 만나기 때문에

 이 조건을 만족하기 어렵다고 보입니다.
 
그래서 b 값은 2보다 커야 합니다.
 
이제 b > 2인 경우에서 조건을 만족하는 경우를 찾아볼 차례입니다.
 
1. 2차 함수의 극소값이 5이고 k가 5인 경우

y=5와 만나는 점이 3
5 - 극한(5보다 작은 값에서 한없이 5에 가까워지는 경우)에서는 3
5 + 극한(5보다 큰 값에서 한없이 5에 가까워지는 경우)에서는 2
3+3+2 = 8
조건을 만족하지 않습니다.
.
.
.
 
2. 2차 함수의 극소가 -3과 5 사이에 있고 k가 5인 경우

y=5와 만나는 점이 4
5 - 극한에서는 5
5 + 극한에서는 2
4+5+2 = 11
조건을 만족하지 않습니다.
.
.
.

 3. 2차 함수의 극소가 -3과 5사이에 있고 k가 5와 2차함수의 극소 사이인 경우

y = k와 만나는 점은 5
k - 극한과 5
k + 극한과 5 점(?)에서 만납니다.
5 + 5 + 5 = 15
조건을 만족하지 않습니다.
 
2차 함수의 극소가 -3인 경우라도 
k가 5와 -3 사이라면
위의 경우와 동일합니다.
.
.
.
 
4. 2차함수의 극소가 -3이고 k가 -3인 경우

y = -3과 만나는 점 3개
-3보다 작은 값에서 한없이 -3에 가까워지는 경우 1개
-3보다 큰 값에서 한없이 -3에 가까워지는 경우 5
3 + 1 + 5 = 9
조건을 만족합니다.
 
그러니까 2차 함수의 극소값이 -3이어야 한다는 결론에 도달합니다.
 
x가 2보다 클 때 f(x)는 a(x-2)(x-b)+9이고,
이 함수의 극소일 때의 x 값은 (2+b)/2입니다.
이 2차 함수에 x를 대입해 봅니다.

a, b는 자연수라고 했으니,
두 수를 곱해서 48이 나오는 쌍을 찾아봅니다.
  1, 48
  2, 24
  3, 16
  4, 12
  6, 8
  8, 6
12, 4
16, 3
24, 2
48, 1
이 중에서 두 번째 수가 제곱의 형태가 되는 것을 찾습니다.
 
  1, 48
  2, 24
  3, 16
  4, 12
  6, 8
  8, 6
12, 4
16, 3
24, 2
48, 1
 
a+b의 최댓값이 구해야 할 값입니다.
a가 48일 때 최대가 되겠습니다.
(b-2)의 제곱이 1이 되어야 하는 자연수 b는 3입니다.
 
답을 구했습니다.