24학년도 수학13번

 

13번 문제입니다.

사실 이 문제를 위해 앞서 삼각형과 외접원에 대한 내용들을 정리했습니다.

 

1. 삼각형의 내각과 마주 보는 변의 비는 외접원의 반지름의 2배.

https://blogger3036.tistory.com/32

삼각형, 외접원, 반지름, 삼각형의 내각과 대응변의 관계

 

2. 삼각형의 세 변과 외접원의 반지름을 이용한 삼각형의 넓이 구하기.

https://blogger3036.tistory.com/34

삼각형의 외접원, 외접원의 반지름, 삼각형의 넓이

 

 

이제 다시 13번 문제를 살펴봅니다.

 

우선, 문제의 조건 중에서 두 삼각형의 넓이의 비를 이용해 봅니다.

삼각형 ACD의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이의 5/6이라고 했습니다.

 

 

먼저 삼각형 ABC의 넓이를 구해봅니다.

삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 R0이라고 하면,

 

R0를 구해봅니다.

 

S1을 다시 정리합니다.

 

삼각형 ACD의 넓이 S2는

그런데 문제에서 선분 AD와 선분 CD의 곱이 9라고 했으니,

라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

이 식을 정리하면, 삼각형 ACD의 외접원의 반지름 R을 구할 수 있습니다.

 

이 문제에서 구해야 할 것은

입니다. (위에서 편의상 각 ADC를 θ로 정했었습니다.)

 

구해야 할 값의 모양이,

와 비슷한 관계식의 모양을 보입니다.

 

위에서 이미, 삼각형 ACD의 외접원의 반지름 R을 구했으니,

이 관계식을 이용해 볼 수 있을 것 같습니다.

그런데 이 관계식에서 모르는 값이 2개입니다.

선분 AC, 그리고 sin θ

 

그런데 선분 AC는 알 수 있을 것 같습니다.

삼각형 ABC를 이용하면,

 

 

cosA는 각 A를 문제에서 조건으로 주어줬고,

cosC를 구해 봅니다.

위에서 R0를 구했기 때문에

sinC를 구할 수 있습니다.

sinC를 구했으니, cosC도 구할 수 있습니다.

.

.

.

 

선분 AC의 길이는 4였습니다.

 

이제 sin θ 를 R을 이용해서 정리해 봅니다.

 

 

이렇게 되면 구해야 할 값도 정리해서 살펴볼 수 있습니다.

.

.

.

 

R의 제곱을 2로 나눈 값이 구해야 할 값입니다.

 

삼각형 ACD의 외접원의 반지름 R은 이미 알고 있으니

계산만 하면 됩니다. 끝.