24학년도 수학6번

 
벌써 6번 문제입니다.
아니 아직 6번 문제인 거 같습니다.
 

 
 
 
 
등비수열... 입니다.

첫 번째 항과 두 번째 항의 합을 구해야 합니다.

그러기 위해서는 ,
일반항

an을 알아야 합니다. 
 
등비수열은 수열이 같은 비율로 커지거나 작아지는 수열입니다.
그래서
첫 번째 항을 a라고 하고 등비를 r이라고 한다면,
a1, a2, a3, ... , an 은

입니다.

그런데...
문제를 보니 다뤄야 할 항이 겨우 다섯 개입니다.

그래서 그냥 나열해 봅니다.

a,  ar,  ar²,  ar³,  ar⁴

첫 항부터 4번째 항까지의 합
a + ar + ar² + ar³
에서

첫 항부터 2번째 항까지의 합
a + ar
을 빼면
ar² + ar³인데

문제에서는 이 값이 네 번째 항에 3을 곱한 값과 같다고 합니다.
ar² + ar³ = 3ar³
 
r은 0이 아닐 테니, 양변을 r²으로 나눠서 식을 간단히 해 봅니다.
a + ar = 3ar
a도 0 이 아닐 테니, 눈에 거슬리는 a도 없앱니다.
1 + r = 3r

등비 r 은 2분의 1이었습니다.

이 등비수열

은
절반씩 계속 작아지는 수열이었네요.

그다음 주어진 조건은,
다섯 번째 항이 4분의 3이라는 것입니다.

 
등비를 알았으니 첫 번째 항 a를 구할 수 있습니다.
ar⁴ = 3/4
a = (3/4) × 2⁴

첫 번째 항은 12였네요.
그럼 두 번째 항은 6입니다.
{등비가 2분의 1인 절반씩 줄어드는 수열이니까요.}

이제 첫 번째 항과 두 번째 항의 합을 구하라는 이 문제의 답을 구할 수 있습니다.