24학년도 수학5번

 
 

 
 
다섯 번째 문제입니다.

f(x) 함수를 미분해서
3x(x-2)라고 하고, f(x) 함수의 x가 1일 때 값이 6이라는 설명을 보면,
f(x) 함수가 뭔지 알아야 풀 수 있겠다 싶습니다.
 

 을 풀어헤쳐봅니다.

 3x² - 6x

이 값을 미분 전의 함수로 되돌려야 합니다.
{적분이라고 합니다.}
 

미분한 것을 적분하면 다시 원래의 함수가 됩니다.

3x² 의 미분 전 모습을 생각해 보아야 합니다.
지수를 앞으로 끌어내리고 지수에서 1을 뺀 값을 지수로 해서 3x²이 되었다면,

3x²의 미분 전의 모습(적분값)은
x³입니다.

같은 방법으로 6x의 적분값을 구하면
3x²입니다.

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[다항함수의 미분과 관련해서는 지난번 문제를 풀면서 정리했었습니다.]

https://blogger3036.tistory.com/18

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그래서 원래 f(x)는
x³ - 3x² 입니다.
아닙니다.
상수항을 빼먹었습니다.

다항함수에서 상수항의 미분값은 언제나 0입니다.
{더하기 3 혹은 빼기 7처럼 미지수 x와 결합하지 않은 항을 상수항이라고 합니다.}

그림으로 보면 이해하기 좀 더 쉽습니다.
  

 

 

그래서 f(x)를 미분한 값을 다시 풀어헤쳐서 표현해 보면,

3x² - 6x + 0

입니다.

 

그렇다면 미분 전의 함수 f(x)는

x³ - 3x² + C

입니다. {상수항이 어떤 값이었는지 지금은 모르니 그냥 C라고 표현합니다.}

 

그런데 문제에서 f(x) 함수가 x의 값이 1일 때 6이라고 했으니

C값을 구할 수 있습니다.

f(1) = 6

(1)³ - 3(1)² + C = 6

C는 8입니다. {욕은 아닙니다.}

 

이쯤 되면, 문제가 뭐였는지 기억나지 않습니다.

그래서 다시 문제를 봅니다.

 

 

x의 값이 2일 때 함수 f(x)의 값을 구하는 게 문제였습니다.

함수 f(x)가 무엇이었는지 구했으니 이제 이 문제를 풀 수 있습니다.

 
f(x) = x³ - 3 x² + 8

 

f(2) = 8 - 12 + 8입니다.

원하는 답을 얻었습니다.